Integralrechnung, Flächenberechnung – Erklärung
Die Integralrechnung ist ein Teil der Analysis und kann genutzt werden, um verschiedene Flächenberechnungen durchzuführen:
- Fläche zwischen Graph und x-Achse
- Fläche zwischen zwei Graphen
- Rotationskörper Volumen
Sieh in den einzelnen Erklärungen nach, um mehr darüber zu erfahren!
Ein Beispiel dafür ist die Berechnung des Flächeninhalts, die der Funktionsgraph einer Funktion \(f(x)\) und die \(x\)-Achse einschließt. Schau Dir dazu einmal die folgende Grafik an:
Abb. 2 - Fläche unter einem Funktionsgraph.Was benötigst Du dafür? Zum einen eine sogenannte Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\) und zum anderen die Grenzen \(a\) und \(b\).
Zunächst zur Stammfunktion.
Integralrechnung Stammfunktion
Eine Stammfunktion \(F(x)\) ist eine differenzierbare Funktion, für die gilt \(F(x)'=f(x)\). Diese erhältst Du durch Integration der Funktion \(f(x)\).
\[F(x)+C\,\xleftarrow{\text{integrieren}}\,f(x)\,\xrightarrow{ableiten}\,f'(x)\]
Leitest Du eine Stammfunktion \(F(x)\) wieder ab, erhältst Du die Ausgangsfunktion \(f(x)\).
In der Erklärung „Stammfunktion bilden“ erhältst Du einen Einblick in dieses Teilgebiet.
Bei der Integration wird prinzipiell zwischen einem unbestimmten und einem bestimmten Integral unterschieden. Das Integral ist ein Oberbegriff dafür.
Unbestimmtes und bestimmtes Integral
Das bestimmte und das unbestimmte Integrale unterscheiden sich anhand ihrer Integrationsgrenzen. Folgende Komponenten sind für beide Integrale von Bedeutung:
- \(\int\) = Integrationszeichen
- \(f(x)\) = Integrand (zu integrierende Funktion)
- \(x\) = Integrationsvariable
- \(a\) und \(b\) = Integrationsgrenzen
Und wie werden diese Komponenten bei einem unbestimmten und einem bestimmten Integral genutzt? Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir einen kurzen Einblick.
| Unbestimmtes Integral | Bestimmtes Integral | |
| Darstellung | $$\int f(x)\:dx$$ | $$\int_{a}^{b}f(x)\:dx$$ |
| Berechnung | Berechnet die Menge aller Stammfunktionen | Berechnet die Fläche zwischen dem Funktionsgraph einer Funktion \(f(x)\) und der \(x\)-Achse in einem gegebenen Intervall \([a;b]\) |
| Ergebnis | Funktionen \(F(x)+C\) | konkreter Zahlenwert |
| Grenzen | unbekannt | von \(a\) bis \(b\) |
Was es mit dem unbestimmten und bestimmten Integral auf sich hat, erfährst Du in den Erklärungen „unbestimmtes Integral“ und „bestimmtes Integral“.
Hauptsatz der Integralrechnung – Formel
Ein Teil des Hauptsatzes der Integralrechnung berechnet bestimmte Integrale \(\int_{a}^{b}f(x)\:dx\) über die Stammfunktionen der Funktion \(f(x)\).
$$\int_{a}^{b}f(x)\: dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$
Das Ergebnis dieser Berechnung entspricht dem Flächeninhalt, die der Funktionsgraph der Funktion \(f(x)\) mit der \(x\)-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen einschließt. So kann beispielsweise die Fläche \(A\) in der folgenden Grafik bestimmt werden.
Abb. 3 - Beispiel bestimmtes \(\)Integral.
Mehr zum Thema und der Berechnung erfährst Du in der Erklärung „Hauptsatz der Differential und Integralrechnung“.
Integralrechnung Regeln
In der Integralrechnung kannst Du verschiedene Integrationsregeln und -techniken nutzen, um die Funktion \(f(x)\) zu integrieren. Mehr erfährst Du in den Erklärungen:
- Integrationsregeln
- Integrationstechniken
- Partielle Integration
- Integration durch Substitution
- Wichtige Stammfunktionen
Möchtest Du den durchschnittlichen Funktionswert einer Funktion \(f(x)\) in einem bestimmten Intervall berechnen? Dann kann Dir der Mittelwertsatz weiterhelfen. Sieh Dir dazu folgende Vertiefung an.
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Der Mittelwert \(m\) der Funktionswerte einer integrierbaren Funktion \(f(x)\) im Intervall \([a,b]\) ist gegeben durch:
$$m=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$
Was bedeutet dieser Satz? Den Flächeninhalt \(A\), den der Funktionsgraph einer Funktion \(f(x)\) und die \(x\)-Achse innerhalb eines Intervalls einschließen, kannst Du zum Beispiel berechnen, indem Du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nutzt.
Abb. 4 - Mittelwert zur Flächenberechnung.
Eine alternative Berechnung ist über den Mittelwertsatz möglich, der ein Rechteck der Höhe \(m\) und der Länge \(b-a\) definiert und den Flächeninhalt über dieses Rechteck ermittelt.
In den zugehörigen Karteikarten kannst Du Dein Wissen zur Integralrechnung testen!
Integralrechnung – Das Wichtigste
- Die Integralrechnung als Teil der Analysis beschäftigt sich unter anderem mit der Flächen- und Volumenberechnung von eingeschlossenen Flächen.
- Einige Teilgebiete der Integralrechnung sind:
- Stammfunktion bilden und wichtige Stammfunktionen
- Bestimmtes und unbestimmtes Integral
- Flächenberechnung
- Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
- Integrationsregeln und Integrationstechniken
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
Nachweise
- Papula, Lothar (2000). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden
- Courant, Richard (1971). Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer Verlag
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Integralrechnung
Was wird mit der Integralrechnung berechnet?
Mit der Integralrechnung können Flächeninhalte A und Volumina V berechnet werden, die durch bestimmte Grenzen eingeschlossen werden.
Für was werden Integrale benötigt?
Integrale dienen zur Ermittlung von eingeschlossenen Flächeninhalten und Volumina innerhalb gewisser Gewissen. Ein bestimmtes Integral beispielsweise liefert einen konkreten Zahlenwert (Flächeninhalt / Volumen), während ein unbestimmtes Integral die Menge aller Stammfunktionen F(x) + C liefert.
Wie funktioniert die Integralrechnung?
Die Integralrechnung basiert auf dem Integrieren von Funktionen, wobei zwischen unbestimmten und bestimmten Integralen unterschieden wird. Das Ergebnis sind Stammfunktion und Flächeninhalte bzw. Volumina.
Wie werden Flächeninhalte berechnet?
Flächeninhalte werden über das Lösen bestimmter Integrale ermittelt. Dazu dient der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
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